每日一题 | 万有引力(一)

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楼主 2020-05-22 13:52:15
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1. 宇航员驾驶宇宙飞船到达月球,他在月球表面做一个实验:在离月球表面高度为h处,将一小球以初速度水平抛出,水平射程为x。已知月球半径为R,万有引力常量为G。不考虑与月球自转的影响,求:

(1)月球表面的重力加速度大小为

(2)月球的质量M;

(3)飞船在近月圆轨道月球做匀速圆周运动的速度v。




知识点

 

1.开普勒行星运动三定律简介(轨道、面积、比值)  

丹麦开文学家开普勒信奉日心说,对天文学家有极大的兴趣,并有出众的数学才华,开普勒在其导师弟谷连续20年对行星的位置进行观测所记录的数据研究的基楚上,通过四年多的刻苦计算,最终发现了三个定律。  

第一定律:所有行星都在椭圆轨道上运动,太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上;

第二定律:行星沿椭圆轨道运动的过程中,与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等;

第三定律:所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即


开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的,给出了行星运动的规律。  

 

2.万有引力定律及其应用  

(1) 内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的,两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比,跟它们的距离平方成反比,引力方向沿两个物体的连线方向。


叫做引力常量,它在数值上等于两个质量都是1kg的物体 相距1m时的相互作用力,1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。 

 

万有引力常量的测定——卡文迪许扭秤 实验原理是力矩平衡。  

实验中的方法有力学放大(借助于力矩将万有引力的作用效果放大)和光学放大(借助于平面境将微小的运动效果放大)。 万有引力常量的测定使卡文迪许成为“能称出地球质量的人”:对于地面附近的物体m,有(式中RE为地球半径或物体到地球球心间的距离),可得到。  


(2) 定律的适用条件:严格地说公式只适用于质点间的相互作用,当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时,公式也可近似使用,但此时r应为两物体重心间的距离.对于均匀的球体,r是两球心间的距离.  


当两个物体间的距离无限靠近时,不能再视为质点,万有引力定律不再适用,不能依公式算出F近为无穷大。  

 

注意:万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来,是自然界中最普遍的规律之一,式中引力恒量G的物理意义是:G在数值上等于质量均为1kg的两个质点相距1m时相互作用的万有引力.

 

(3) 地球自转对地表物体重力的影响。

重力是万有引力产生的,由于地球的自转,因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力.重力实际上是万有引力的一个分力.另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力,如图所示,在纬度为j的地表处,万有引力的一个分力充当物体随地球一起绕地轴自转所 需的向心力(方向垂直于地轴指向地轴),而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg,其方向与支持力N反向,应竖直向下,而不是指向地心。  

 

由于纬度的变化,物体做圆周运动的向心力F向不断变化,因而表面物体的重力随纬度的变化而变化,即重力加速度g随纬度变化而变化,从赤道到两极R逐渐减小,向心力 减小重力逐渐增大,相应重力加速度g也逐渐增大。


在赤道处,物体的万有引力分解为两个分力F向和m2g刚好在一条直线上,则有所以。  

 

物体在两极时,其受力情况如图丙所示,这时物体不再做圆周运动,没有向心力,物体受到的万有引力F引和支持力N是一对平衡力,此时物体的重力


 

综上所述

 

重力大小:两个极点处最大,等于万有引力;赤道上最小,其他地方介于两者之间,但差别很小。  

 

重力方向:在赤道上和两极点的时候指向地心,其地方都不指向地心,但与万有引力的夹角很小。  由于地球自转缓慢,物体需要的向心力很小,所以大量的近似计算中忽略了自转的影响,

 

在此基础上就有:地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力,即

  

说明:由于地球自转的影响,从赤道到两极,重力的变化为千分之五;地面到地心的距离每增加一千米,重力减少不到万分之三,所以,在近似的计算中,认为重力和万有引力相 等。  


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